Sự thật toán học

Giáp Văn Dương, Hoàng Hồng Minh và Ngô Bảo Châu trò chuyện qua mạng. Giáp Văn Dương dẫn chuyện và biên tập.

Từ một cuộc gặp

Câu chuyện này bắt đầu từ một buổi gặp mặt và tán gẫu giữa hai người bạn, tuy ở xa nhưng lại gặp nhau trong một quán café ở Hà Nội, về một trong những chủ đề muôn thuở của con người : Triết học. Đó là Hoàng Hồng Minh (Minh) – ở Paris, Pháp và Giáp Văn Dương (Dương)– khi đó mới ở Liverpool, Anh – về chơi. Đến giờ, không ai nhớ được chi tiết cả hai đã nói những gì trong buổi gặp đó. Nhưng có một thứ chắc chắn là anh Minh nói về khái niệm “tha hóa” và cho rằng, việc hiểu “tha hóa” như cách hiểu hiện giờ là không chính xác, còn Dương thì nói về các “dạng thức ” (forms) của Plato trong liên hệ với khái niệm tha hóa mà anh Minh đề cập. Kết thúc buổi trò chuyện, Dương cho rằng, nếu có một nhà toán học nữa tham gia thảo luận thì thật thú vị, vì các hệ thức toán học, có thể coi như một “dạng thức” của Plato.

Năm tháng sau, câu chuyện trở lại, với sự tham gia của một nhà toán học, đó là Ngô Bảo Châu (Châu), lúc này đang ở Chicago, Mỹ . Tuy là tán gẫu qua mạng, lại từ ba nước khác nhau và lệch múi giờ nhau hoàn toàn, nhưng vẫn không kém phần thú vị so với những cuộc tán gẫu thực ở ngoài đời, bên ấm trà hay tách café nóng.

Chủ đề của cuộc tán gẫu là Sự thật toán học. Cách xưng hô được giữ nguyên như nó vốn có trong giao tiếp hằng ngày, lấy sự thân quen và tuổi tác làm cơ sở.

Dẫn chuyện

Galileo – cha đẻ của khoa học hiện đại – cho rằng “Tự nhiên là cuốn sách được viết bởi ngôn ngữ Toán học”. Tất cả những định luật của khoa học tư nhiên đều được phát biểu dưới dạng những biểu diễn toán học như các phương trình, các bất đẳng thức.

Tính đúng đắn của các phương trình, rộng hơn là các quan hệ toán học, trong điều kiện biên xác định, được thừa nhận là bất biến. Vì thế, chúng được gọi là những sự thật toán học. Điều này đôi khi dẫn đến ngộ nhận: chân lý khoa học là bất biến vì các sự thật toán học là bất biến.

Chính tính bất biến của các sự thật toán học là nền tảng vững chắc cho việc xây dựng tòa lâu đài tri thức của con người về giới tự nhiên. Nếu tính bất biến của các sự thật toán học không còn nữa, thì tòa lâu đài tri thức này không có cách nào đứng vững được.

Vì thế, tìm hiểu về bản chất của sự thật toán học chính là tìm hiểu bản chất tri thức của con người.

Sự thật toán học chỉ có được khi xuất phát từ những sự thật toán học đã biết hoặc những tiên đề được cho rằng hiển nhiên đúng, thông qua một quá trình suy luận logic chặt chẽ.

Sự tiến bộ của Toán học, vì thế trong một chừng mực nào đó có thể nói là chậm hơn so với những tiến bộ mang tính cách mạng của những ngành khoa học khác như Vật lý, Sinh học, Tin học…. Nhưng đổi lại, những tri thức mà nó thu được có tính bền vững đến độ vĩnh cữu. Không ai có thể nghi ngờ rằng Định lý Pythagoras lại không đúng trong một triệu năm sau nữa. Còn những lý thuyết của các ngành khoa học khác rất dễ bị thay thế bởi những lý thuyết khác đúng đắn hơn sau đó, có thể trong khoảng thời gian của một đời người hoặc thậm chí chỉ trong vài năm.

Đó cũng là một phần của lý do vì sao các nhà toán học thường kiên trì giải những bài toán có khi ra đời từ hàng trăm năm về trước. Khi làm những việc đó, họ biết rằng đó là những vấn đề vĩnh cửu và tri thức họ thu được cũng sẽ là vĩnh cửu.

Chính tính vĩnh cửu của những sự thật toán học đã làm cho công việc của các nhà toán học đặc thù hơn so với công việc của các nhà khoa học khác. Họ phải tuân thủ một qui trình suy luận logic nghiêm ngặt, thay vì thiết kế thí nghiệm, quan sát, đo đạc và so sánh kết quả với tính toán như các nhà khoa học khác thường làm.

Chỉ những kết quả thu được từ quá trình suy luận logic nghiêm ngặt này mới được coi là sự thật toán học và đúng mãi với thời gian: từ lúc người ta tìm ra chúng và mãi sau này.

Nhưng trước khi người ta tìm ra những sự thật toán học này thì sao? Chẳng hạn, trước khi có con người thì định lý Pythagoras có tồn tại không?

Dù không có số liệu thông kê chính thức, nhưng rất nhiều nhà toán học tin một phần hoặc toàn bộ vào sự tồn tại của thế giới những sự thật toán học. Để minh họa điều này, hãy xem xét hai ví dụ: Định lý Fermat lớn và Tập hợp Mandelbrot.

Định lý Fermat lớn được Fermat (1601-1665) ghi trên lề của một cuốn sách Arithmetica gần 400 năm về trước, đại ý: phương trình xn+yn=zn không có nghiệm nguyên khác không với n>2. Ở bên lề của cuốn sách, ông có ghi thêm rằng: tôi đã tìm ra cách chứng minh rất tuyệt. Nhưng vì lề sách quá hẹp nên không thể viết ra đây! Nhưng phải mất 358 năm, và làm đau đầu biết bao thế hệ toán học tài năng, định lý này mới được chứng minh bởi Wiles, nhà toán học Anh, năm 1994.

Vậy trước khi Wiles chứng minh được định lý này, thì nó có đúng không? Thậm chí giả sử Fermat không viết ra lề sách định lý đó, hoặc bản thân Fermat không được sinh ra ở trên đời, thì định lý đó có tồn tại không?

Tập hợp Mandelbrot cũng là một minh chứng rõ ràng cho sự tồn tại độc lập của những sự thật toán học. Được phát hiện bởi Mandelbrot năm 1980. Nhưng ban đầu bản thân Mandelbrot cũng không ý thức được hết sự phức tạp của nó. Vậy thì, sự tồn tại của nó có phải là độc lập, khách quan với đầu óc con người?

Tập hợp Mandelbrot. Ảnh : wikipedia.

Hai ví dụ này, và vô số những ví dụ khác, dẫn đến một kết luận không dễ bắt bẻ là : những sự thật toán học là có thật và tồn tại độc lập với đầu óc con người, trong một thế giới riêng của nó. Chúng có đời sống và những mỗi liên hệ tự thân mà con người không thể thay đổi được.

Nhưng những kí hiệu toán học chỉ được phát minh trong khoảng vài trăm năm trở lại đây, ví dụ dấu bằng (=) không tồn tại trước thế kỉ 16. Vậy là những phương trình toán học như ta vẫn thấy không thể tồn tại trước thế kỉ 16, do đó, sự tồn tại khách quan của thế giới những sự thật toán học như nhiều nhà toán học nhận định là không có thật. Đó cũng là một lập luận không dễ bắt bẻ.

Tán gẫu qua mạng

Dương - Như vậy, sự thật toán học liệu có tồn tại độc lập với đầu óc con người?

Châu – Câu hỏi mà Dương đặt ra là một câu hỏi dằn vặt nhiều nhà toán học. Làm toán là một quá trình khám phá (discovery) hay là một quá trình sáng tạo (invention)? Phần đông các nhà toán học nghiêng về câu trả lời thứ nhất: làm toán là một quá trình khám phá. Con người không sáng tạo ra sự thật toán học, mà chỉ khám phá ra nó thôi. Tức là cái sự thật đó đã tồn tại ở đâu đó rồi, chỉ đợi con người đến khám phá.

Lập luận của phe “khám phá” là dựa vào sự “đồng thuận” cao trong toán học. Một định lý đã được chứng minh thì không thể phủ nhận được nữa. Vì toán học không phụ thuộc vào một cá nhân cụ thể của một nhà toán học nào, nên có nhiều khả năng, nó có sự tồn tại độc lập.

Phe “sáng tạo” thì cho rằng toán học cũng chỉ là sản phẩm của bộ não người mà thôi.

Phe “ba phải”, trong đó có mình, thì cho rằng (định nghĩa) toán học là công cụ (ngôn ngữ) để bộ não người nắm bắt thế giới bên ngoài một cách có hệ thống. Suy từ định nghĩa ra thì nó không thể tồn tại nếu không tồn tại bộ não người (mệnh đề này là rỗng vì giả thiết sai), nhưng nó lại phải chịu thuộc tính của cái nằm ngoài bộ não người.

Nói thế cũng có lý, nhưng người nghe vẫn chưa thấy thích.

Thực ra đây vấn chỉ là cách xê dịch vấn đề, và phủ thêm một lớp lý luận. Nhưng nó dẫn dắt ta đến một câu hỏi thực sự thú vị, theo mình thì thú vị hơn câu hỏi “khám phá” hay “sáng tạo”: đó là tại sao toán học lại phát triển phần lớn bởi cái logic nội tai của nó, tại sao nó lại tỏ ra hữu hiệu đến thế trong việc mô tả thiên nhiên. Vậy thì cái logic là cái con người lựa chọn hay là cái bị thiên nhiên áp đặt ?

Minh - Đây là câu chuyện rất thú vị trong Triết học, câu chuyện “tri thức khách quan”. Thiền án đặt ra là con nhện cứ tưởng mình dệt lưới theo ý mình thích, hóa ra lại theo “tri thức khách quan”. Con người tưởng nói năng lung tung được, hóa ra lại theo “ngữ pháp”, thực chất là một trong các dạng biểu đạt của cấu trúc logic khách quan?

Dương – Em cũng nghiêng về cách nhìn “ba phải”, nên mới có câu hỏi là trước khi các kí hiệu toán học (ngôn ngữ toán học) ra đời thì sao. Có lẽ các sự thật toán học chỉ là các mô hình của thực tại. Nhưng cách thức tồn tại và phát triển của toán học làm người ta nghi ngại nhận định này.

Về sự phát triển theo logic nội tại của Toán học, liệu có sự tương đồng với một quá trình tự diễn biến nào trong giới tự nhiên không? Nếu có thì có thể dùng một mô hình Vật lý nào đó để khảo sát? Còn nữa, liệu bản chất của việc tìm kiếm các sự thật toán học có thể giải thích theo kiểu “phép đo” trong cơ học lượng tử?

Trong Cơ học lượng tử, trạng thái của một hệ vi mô được mô tả bởi hàm sóng là chồng chập của tất các các trạng thái khả dĩ. Khi phép đo được tiến hành, hệ co về một trạng thái duy nhất ứng với kết quả của phép đo. Điều này liệu có điểm gì tương đồng với các sự thật toán học trong giả thiết sau: trước khi được khám phá ra thì thế giới các sự thật toán học ở trạng thái chồng chập đúng-sai, bất định-xác định…cho đến khi được một nhà toán học tiến hành “đo đạc” bằng cách tiến hành những thao tác suy luận logic để chứng minh hoặc phủ nhận một giả thiết toán học nào đó. Trạng thái của sự thật toán học khi đó sẽ co sập lại về tương ứng với kết quả của chứng minh giống như trạng thái của hệ vi mô co sập lại về tương ứng với phép đo trong cơ học lượng tử? Nói cách khác: chính tư duy của nhà toán học đã tạo ra sự thật toán học, giống như phép đo trong cơ học lượng tử đã tạo ra tính chất của hệ vi mô dưới dạng mô tả được?

Như thế, một sự thật toán học được tìm ra cũng giống như kết quả của phép đo: vừa mang tính chủ quan, vừa mang tính khách quan, biểu hiện ở chỗ: sự thật toán học là sản phẩm của quá trình tư duy của nhà toán học, nhưng lại nghiệm đúng một cách khách quan và vĩnh viễn sau khi đã được tìm ra? Câu hỏi còn lại là liệu sự thật toán học có mang tính xác suất – bất định như trong cơ học lượng tử?

Và hơn nữa, là vì sao bằng tư duy – « phép đo » của mình – con người lại có thể tìm ra những sự thật toán học này?

Em có linh cảm là việc tìm kiếm các sự thật toán học và phép đo trong cơ học lượng tử rất gần nhau. Nhưng chỉ là linh cảm thôi, chưa có bằng chứng gì cả.

Còn về câu chuyện “tri thức khách quan”, thì đó không chỉ là tri thức có khách quan, mà còn là bản chất của tri thức, nguồn gốc và mối liên hệ của nó với thực tại. Tất nhiên điều này cũng sẽ dẫn đến câu hỏi thực tại là gì và mối liên hệ của nó với tri thức như thế nào, làm sao mà con người lại có thể nhận thức được chúng, nhận thức đó liệu có khách quan hay hoàn toàn chủ quan hay là hỗn hợp của hai thứ đó.

Rõ ràng cuộc đối thoại này đã bước ra khỏi phạm vi của các sự thật toán học và tiến tới một lĩnh vực khác: bản chất của thực tại và mối liên hệ của nó với các biểu diễn toán học. Trước khi những kí hiệu và khái niệm toán học được phát minh ra thì các hệ thức toán học như chúng ta thấy bây giờ không tồn tại, nhưng các mối liên hệ của tự nhiên, như trái đất quay xung quanh mặt trời một vòng hết 365 ngày, vẫn tồn tại dù không được biểu diễn bởi các phương trình. Vấn đề đặt ra – hóc búa– là mối quan hệ của thực tại với các mô hình toán học thực sự là gì?

Trong trường hợp này, sự thật toán học được chọn như một ví dụ của tri thức. Ngôn ngữ cũng là một ví dụ tốt để xem xét.

Minh - Anh nhìn nhận Logos là cái tính năng tràn khắp vũ trụ, cho nên ta và con mèo hiểu nhau rất dễ, và cái trái cây khi chưa sẵn sàng để phát tán hạt thì vẫn giữ màu lá cây để tự vệ và khuyên nhủ các loài “hãy kệ tôi đã”.

Riêng xem trong thế giới thực vật và sinh vật muôn loài, ta đã thấy muôn vàn các quá trình trao đổi thông tin, anh từng đặt chữ là « giao tin », thực hiện được, vậy là dựa vào đâu? Vào tính logos phổ quát.

« Sự thật toán học » được Dương nói đến ở trên đây như những kết quả được xây dựng từ những tiên đề toán học « qua một quá trình suy luận logic chặt chẽ ». Như thế chính ở đây ta thừa nhận hệ thống các thuộc tính-quan hệ logic như một hệ thống công cụ có tính tiền đề. « Sự thật logic » như vậy còn tồn tại « trước » cả « sự thật toán học ». « Trước » không phải về không gian, thời gian vật lý, mà về mặt.. logic!

Chuyện vui, nếu nhà toán học lạc vào trong rừng mà gặp phải con hổ, con hổ sẽ hiểu nhà toán học hơn cả nhà toán học hiểu chính mình trong địa hạt này… Con hổ sẽ lừa cho nhà toán học toát mồ hôi, toát ngu muội, và nhà toán học chỉ còn biết trông chờ vào may mắn! Tại sao? Vì cả hai cùng với giới tự nhiên đều cùng chia sẻ cái logos phổ quát về không gian, thời gian, về nhân quả, về luận lý, và cả về tâm lý! Và con hổ thì hiểu logos của thánh địa của nó hơn nhà toán học, hiểu cả rằng nó nhanh nhẹn, mạnh mẽ, và khôn ngoan trong săn bắt hơn chính nhà toán học!

Ý niệm về « Đạo » của Lão, Trang có gần gũi với Logos. Nhưng yếu kém của « Đạo » là chưa ý thức được cái năng lực siêu phàm trong cái thần của Logos, là dạng thức (forms) – ở ta hay dịch là « hình thức », cái chữ dễ bị hiểu nhầm nôm na thành như « bề ngoài ». Nhờ hiểu biết về tầm quan trọng vô cùng của dạng thức mà các hiểu biết về logic và toán học phát triển được lên.

Nghiên cứu về logic, theo mình thì không có cái gọi là môn « logic nội dung » chọi với « logic hình thức »! Đó chỉ là sự diễn nôm hời hợt. Chỉ có một môn logic, và đó chính là logic dạng thức. Các bộ môn nghiên cứu ứng dụng logic không phải là « logic khác », mà là các nghiên cứu ứng dụng logic mở ra trong các miền tri thức, các ứng dụng này không phải là các lựa chọn khả thay thế. Ví dụ như « modal logic » là môn nghiên cứu ứng dụng về tình thái ngữ nghĩa trong ngôn ngữ….

Phát hiện về dạng thức là nền tảng cho sự phát triển có tính xây dựng được của nền văn minh tinh thần! Khi bạn đang đọc bài trao đổi này, bạn không « đọc » một cuộc thảo luận nguyên trạng, mà đọc cái đã dạng thức hóa của nó qua các « nguyên tử » ký tự (chữ cái, gồm cả các dấu nghỉ, cảm thán, khoảng trắng, cùng « dấu xuống dòng », dấu chuyển hồi đoạn, dấu chấm hết … gọi chúng là « nguyên tử » vì các nhân tố này là nhỏ nhất trong hệ thống, không còn chẻ ra tiếp được nữa) đã được cấu trúc hóa theo các qui tắc ngữ pháp. Nói theo logic, các ký tự hợp thành hệ thống các ký hiệu, và việc áp dụng hệ các qui tắc nối kết vào các ký hiệu làm nên các công thức (từ, liên từ, đoạn, câu…), chúng được cắt nghĩa và vận động trong một hệ thống luận suy. Xa xôi hơn, bạn đang đọc được một dãy mã hóa « sắc không », « âm dương », « 0 và 1 », được đại diện bởi các xung điện. Và cuối cùng, chính bạn phải làm cả một cuộc cắt nghĩa toàn bộ dãy mã này trong văn hóa khoa học tiếng Việt để « cảm hiểu » bài trao đổi.

Cũng cần nói rõ là cái ý niệm « sắc không », « âm dương » trong triết học cổ phương Đông chỉ là một khởi điểm của ý tưởng về các đối cực, chứ không hề liên quan gì đến việc phát triển của khoa máy tính sau này. Vì để có ý tưởng mã hóa tất thảy các hiện tượng chỉ từ hai trạng thái để lợi dụng được các xung điện, phải hiểu ra và phát triển được cái logos « dạng thức », phát triển logic, toán học để xây dựng nên được ngôn ngữ dạng thức và hệ thống các thuật toán, để rồi có thể công nghệ hóa, tự động hóa chúng. Dãy các trạng thái « 0 và 1 » còn phải chứa hệ thống các cấu trúc để cho phép gắn kết chúng như thế nào trong quá trình vào mã và giải mã các thông tin. Các nhà Đông học tuyệt đối không có gì để vơ quàng sĩ diện ở đây.

Cái tiếp theo của câu chuyện nói ở trên là cái nhìn triết học về « khách quan- chủ quan », « vật chất- tinh thần ».

Ở ta lâu nay người ta nhìn vấn đề này không theo tầng tinh thần triết học, mà theo cảm hứng dân dã, « lập trường ». Nên nhìn nhận rất chân thành rằng ở ta không có căn bản truyền thống về tinh thần văn hóa triết học – logic.

Câu chuyện vật chất – tinh thần, cái nào « có trước», cần nói rõ là « có trước về mặt triết học-logic », là vấn đề lựa chọn.

Ví dụ khi bạn chấp nhận « vật chất có trước tinh thần », bạn dùng cái gì để « xác nhận » nó ? Bạn dùng chính tinh thần bạn!

Nếu bạn không dùng tinh thần của bạn để công nhận « vật chất có trước tinh thần », thì bạn quả là siêu nhiên! Bạn lại dùng « tinh thần vũ trụ » chăng ?

Như vậy sự công nhận về sự tồn tại của thế giới bên ngoài, « có trước », độc lập với tinh thần con người, là vấn đề phương pháp, vấn đề lựa chọn tiên đề, chứ không có và không thể có vấn đề « đúng sai » theo nghĩa triết học ở đây.

Cái rắc rối tiếp theo là liệu có một cái « logos phổ quát bên ngoài tinh thần con người » hay không ?

Cái này cũng thuộc về tiên đề triết học nốt. Phải lựa chọn.

Và nếu bạn muốn hiểu « sự thật logic », « sự thật toán học » như một « tri thức khách quan » thì đó cũng là một lựa chọn.

Tri thức tiến lên nhiều khi không phải chỉ do « lập luận thông minh đơn thuần ». Lập luận không làm tiến hóa hệ thống. Lập luận chỉ củng cố hoặc mở rộng hệ thống, nếu hệ thống tỏ ra vẫn chuẩn xác (chưa bị rơi vào tự mâu thuẫn), hoặc ngược lại làm nó lụi tàn, nếu hệ thống không chịu nổi các thử thách về logic. Tri thức tiến lên còn do sự quyết đoán lựa chọn, tiêu biểu là việc lựa chọn các tiên đề. Người biết lựa chọn các tiên đề tất nhiên không phải người tầm thường. Sự lựa chọn là một cách mở rộng hoặc đổi thay hệ thống với những rủi ro và đột biến tiến hóa.

Einstein đã lựa chọn tiên đề tốc độ ánh sáng là tốc độ cực đại trong vũ trụ chẳng hạn, điều vượt quá đa phần các bộ óc con người (trong đó tất nhiên có mình ! ;-) ).

Sự lựa chọn việc tồn tại « logos khách quan » cũng có những cơ sở của nó. Giản đơn nếu như nhà toán học mà quên cho con mèo ăn, thì con mèo sẽ biết làm cho nhà toán học phải hiểu ra bằng được điều đó và cho nó ăn mà thôi.

Lựa chọn sự tồn tại « tri thức khách quan » không có nghĩa là bạn đã có nó! Mà bạn hy vọng có thể phát hiện ra nó, đạt được nó như những tri thức cơ sở. Hơn thế nữa, từ những tri thức cơ sở đó bạn có thể xây dựng những tri thức mới trong khi tuân thủ những « tri thức khách quan về logic » – những tri thức chưa bị bác bỏ được. Nhìn chung tri thức luôn có cả hai mặt phát hiện và sáng chế. Như cái công nghệ thông tin phục vụ bạn đây là thuộc về sáng chế, có thế ta mới xem được những bức ảnh chụp bề mặt sao Hỏa rõ mồn một.

Tất nhiên bạn có thể chọn tiên đề « không có tri thức khách quan ».

Lựa chọn chỉ là phương pháp. Bạn « tự do » trong lựa chọn. Vấn đề là sự lựa chọn đó đưa bạn đi đến đâu, bạn phải đảm trách sự lựa chọn của mình. Cho nên ý thức triết học nhắn ta phải luôn luôn sẵn sàng nhìn lại những tiên đề của mình.

Tam giác triết học – logic – toán học thật hấp dẫn và trong tầng sâu thẳm chúng trộn vào nhau. Hãy xem vài trường hợp sau:

Lý thuyết tập hợp hình thành là một sự cộng sinh tuyệt đẹp của triết học, logic và toán học.

Tỉ như dãy số tự nhiên 0,1,2…n… thực ra không hề “tự nhiên”, mà lần đầu tiên được xây dựng và cắt nghĩa hoàn chỉnh qua các khái niệm triết học-logic-toán học trong lý thuyết tập hợp.

Tập rỗng là tập không chứa phần tử nào, ký hiệu “tập 0”. Đây là một tiên đề có tính triết học về mối tương sinh của tồn tại-hư vô, về “khởi thủy”. Không thể tranh luận gì được ở đây.

Tập chứa đơn thuần tập rỗng, kí hiệu “tập 1”.

Tập chứa “tập 0” và “tập 1”, ký hiệu “tập 2”, v.v.

Và như thế ta có một dãy trật tự hóa, mỗi yếu tố trong dãy này là một tập hợp mà các phần tử của mình chính là tất cả các yếu tố- tập hợp đứng trước nó.

Vui chuyện, ta có thể tự an ủi rằng cái ý thức của cá nhân mình khi chưa hình thành thì là một tập rỗng. Dần dà nó phát triển lên thật phong phú. Còn khi ta ra đi, ý thức của ta lại trở về là tập rỗng.

Hay lấy một ví dụ khác, một quan hệ logic thuần, đơn giản hóa.

Cho A, B, C,…Z là những thành tố của một tập hợp « đồng chất » (cùng một lĩnh vực).

“Tính bắc cầu” là một quan hệ logic, ký hiệu R, được hiểu: R(A, B) & R(B, C) à R(A, C). Nghĩa là nếu quan hệ bắc cầu tồn tại giữa A và B, và nếu quan hệ bắc cầu đó cũng tồn tại giữa B và C thì ta có quan hệ bắc cầu này giữa A và C.

Bây giờ nếu ta có thêm R(C, D) thì ta sẽ có R(A, D), vì ở trên ta đã có R(A,C). Phép chứng minh là một phép co rút hay quy giản tìm được khi áp dụng liên tục các quy tắc suy luận xác thực trên dãy các tiên đề và công thức đã được chứng minh : R(A, B) & R(B, C) à R(A, C); R(A, C) & R(C,D) à R(A, D).

Vậy khi phải tính toán, nếu có R(A,B) & R(B,C) & R(C,D) & … & R(Y,Z) thì R(A,Z) có tồn tại hay không, công việc logic này đã thành công việc của toán học. Để gửi cái e-mail từ Chử Đồng Tử tới Tiên Dung, tri thức logic-toán học đã khách quan hóa trong các phần mềm ở các máy chủ sẽ tính xem gửi các gói thông tin này qua các nút máy nào để tính bắc cầu được thực hiện hiệu quả nhất.

Và ở chỗ này, bằng chứng của sự lựa chọn « tri thức khách quan » là sức mạnh hiển nhiên: tri thức logic-toán học ở con người đã được chuyển ra ngoài, đây chính là nội dung của khái niệm “tha hóa” mà mình đã từng nói tới, chuyển thành “tri thức khách quan”, hoạt động tự động trong các máy tính! Đó chính là giá trị của sự lựa chọn triết học! Ngày mai bạn có thể được phẫu thuật bằng máy móc điều khiển do một bác sĩ ở phần bên kia địa cầu thông qua internet, và bạn đành phải tin vào tri thức khách quan nằm giữa bạn và ông bác sĩ!

Cũng từ đây cho ta thấy cải cách và tiến bộ xã hội là có thể, vì tri thức, trong đó có các lý tưởng nhân văn xác quyết, có thể dần chuyển được ra “xã hội bên ngoài”, làm nên nền văn minh. Và kết thúc được cái xã hội chủ quan luẩn quẩn « con rắn cắn đuôi », mãi mãi làm lại từ đầu!

« Sự thật » hay « chân lý » về mặt triết học-logic là như sau: một biểu đạt, một hệ thống các biểu đạt (hay công thức), rộng nữa là một lý thuyết, có thỏa mãn bảng giá trị chân lý hay không.

Nhưng bản thân cái bảng giá trị này, sâu xa về triết học-logic, thì lại không liên quan gì đến chân lý! Nó có đó do sự lựa chọn. Giống như các tiên đề vậy. Như thế chính triết học luôn cảnh tỉnh ta về sự lựa chọn của mình, thay vì băn khoăn và mắc tóc trong chính sự không ý thức về những lựa chọn đã được thực hiện.

Về văn hóa thì chuyện này lại càng thú vị nữa. Con người lớn lên và được tắm trong cả « một biển các giá trị chân lý mẹ truyền »! Không có tư duy triết học, con người loay hoay mắc tóc trong đó đời này sang đời khác, đặt những câu hỏi không vào sâu được hơn cái lớp bao bì chân lý mẹ truyền này, và như ta thường hay thấy, người ta tấm tắc « các cụ nói cấm câu nào sai »! Nếu bạn để ý một chút thôi, thì cái biển chân lý này bao giờ cũng chứa tất cả các mệnh đề trái ngược nhau, tỉ như “một giọt máu đào, hơn một ao nước lã” chọi với “bán anh em xa, mua láng giềng gần”. Các lý thuyết cai trị cổ hủ cũng thường rơi vào tình huống này, do vừa cố mở rộng độ biên của ứng dụng, vì đời sống phong phú lên, lại vừa cố bảo trì các tiền đề cũ kĩ. Một cộng đồng muốn tiến lên, phải làm một cuộc tổng kiểm kê về cái bảng các giá trị này, để mà mình ý thức về chúng, để mà mình sẵn sàng được cảnh tỉnh về chúng, để mà mình có thể thay đổi chúng. Việc này không hề dễ tí nào, tương tự như việc quả táo rơi xuống đất tưởng đã hiển nhiên là chân lý, mà hóa ra lại chỉ là một nửa chân lý như Newton đã nhìn ra!

Trong tương quan với các lĩnh vực cụ thể, các quan hệ logic như thế nằm ở tầm “cao hơn chân lý », « trước chân lý » của những lĩnh vực đó… luôn luôn về mặt logic thôi. Về hình ảnh các quan hệ logic đã dạng thức hóa này tồn tại “trước” khi bị « nhúng vào » trong « các trường nhất định », « các cư dân nhất định ». Ta tạm gọi các quan hệ này «ở ngoài vật thể » hay « trước vật thể », chú ý, theo nghĩa… logic !

Ví dụ quan hệ logic bắc cầu đã nói trên kia R : R(A, B) & R(B, C) à R(A, C) là một dạng thức quan hệ logic thuần.

Chỉ khi « nhúng » quan hệ này vào các « trường sự vật» cụ thể, ở đó mới đẻ ra vấn đề chân lý cụ thể, hay gọi là vấn đề cắt nghĩa trên « một trường sự vật ».

Trong cái thế giới sự vật “hệ thống tàu điện », tính bắc cầu này thỏa mãn chân lý.

Trong lĩnh vực “yêu mến”, tính bắc cầu không bắt buộc thỏa mãn chân lý. A yêu mến B, B yêu mến C, không tất yếu A yêu mến C. Ở đây việc triển khai tính bắc cầu mang tính bất định, « có thể bị bác bỏ ».

Lưu ý rằng tính bắc cầu không nhất thiết thỏa mãn chân lý trong lĩnh vực « yêu mến », không có nghĩa là tính bắc cầu « sai » về logic thuần túy. Chuyện đó không có nghĩa. Nói thế để ta thấy rõ hơn tầng logic nằm « trước và ngoài » tầng các sự vật cụ thể.

Nói chuyện nhiều khi một xã hội Á Đông cứ loay hoay tranh cãi hàng ngàn năm rằng cái « mô hình » xã hội Nghiêu Thuấn « vua sáng tôi hiền, nhà nhà đi ngủ không phải đóng cửa, người người ra đường không ai nhặt của rơi » tự nó đúng hay sai? Câu hỏi đó vô nghĩa và vô ích về mặt vận hành xã hội. Hãy gác việc phân tích kinh viện cái « mô hình » siêu giản siêu thuần túy đó sang một bên, chưa cần thiết. Hãy cắt nghĩa khi áp dụng cái mô hình « logic » đó vào xã hội ở thời điểm lịch sử nhất định, ta đã có tư liệu lịch sử hàng ngàn năm rồi, xem nó có đảm bảo đưa lại thái bình no đủ vui tươi bền vững hay không ? Nếu là « không », thì nó là sai theo bảng giá trị được chờ đợi trong cái trường lịch sử đó, và ta không phải lo lựa chọn nó.

Vấn đề Dương có thể đẩy lên thú vị hơn nữa, là Logos có tồn tại độc lập được với vật thể không? Ví dụ với các lực hấp dẫn đã được tính toán đó, sự tồn tại của bản thân các vật thể có còn là bắt buộc không, hay các vật thể chỉ còn là sự thể hiện và mách bảo cho ta cái Logos. Các công thức tính toán theo nghĩa nào đó đã được « phi vật thể hóa ». Nhà thiết kế một tòa nhà nay có các tri thức khách quan đã được « tha hóa », chuyển hóa ra và nằm sẵn trong phần mềm máy tính, và anh ta có thể chọn vật liệu xây dựng sau cùng cũng được, miễn là các vật liệu đó thỏa mãn mô hình logic-toán đã được xác quyết bằng các công thức đã được cài đặt trong phần mềm, chúng cho thấy thỏa mãn các tiêu chí được chờ đợi (bảng các giá trị) về độ bền vững, an toàn, giá trị thẩm mỹ, tiện nghi, môi trường, bảo trì, thương mại…

Trong lập trình công nghệ tin học, một chương trình được viết thông minh là chương trình độc lập cao với dữ liệu, và nó chứa đựng hệ thống xử lý thông minh và khả năng giao tiếp phong phú. Khi phải ứng dụng cho các hoạt động khác nhau, ta mới cho nó giao tiếp với hệ thống các thông số của các lĩnh vực hoạt động liên quan, để nó tìm ra các ứng xử thích hợp cho các đối tượng của các lĩnh vực đó…

Châu – Mình đồng ý là đem cọ sát các cách suy nghĩ khác nhau từ Triết, Toán đến Vật lý có thể đưa ta đi xa. Nhưng theo kinh nghiệm, ánh sáng không lóe ra từ cái cách áp đặt máy móc mô hình suy nghĩ của bên này qua bên kia. Ánh sáng luôn lóe ra từ những sự tương đồng tinh tế, mà mình phải thực sự tìm thì mới thấy. Những điểm tinh tế đó thường là nằm ở dưới lớp vỏ của ngôn ngữ.

Sự hình thành của khái niệm nhóm trong toán rất đáng để suy nghĩ từ quan điểm Triết học. Mình có viết nhiều mẩu trên blog về chuyện này nhưng ít ai để ý.

Định nghĩa của nhóm đơn giản đến mức có thể làm những người tò mò thất vọng. Nó mô phỏng các biến đổi nội tại của một đối tượng. Hai biến đổi có thể “hợp thành với nhau”, nhưng biến đổi A xảy ra trước biến đổi B kết hợp lại sẽ khác với khi biến đổi B xảy ra trước biến đổi A. Ngoài ra thì mọi biến đổi đểu nghịch đảo được, tức là có một biến đổi theo chiều ngược lại. Các tiên đề về nhóm đại khái chỉ có vậy.

Ví dụ cơ bản là các thao tác trên khối rubik. Có thao tác A là quay mặt bên trái một góc 90 độ, có một thao tác B là quay mặt trên một góc 90 độ. Có hai thao tác hợp thành A rồi B và B rồi A. Ngoài ra thì có thao tác nghịch đảo của A, nghĩa là quay mặt bên trái một góc 90 độ theo chiều ngược lại so với A.

Nhóm các thao tác trên rubik là một nhóm hữu hạn nhưng có rất nhiều phần tử và khá phức tạp. Vì thế mà khi ta xem hướng dẫn cách quay rubik, nói chung mình chỉ biết chấp hành thôi, còn không hiểu tại sao phải làm như thế. Muốn hiểu phải nghiên cứu tường tận cấu trúc của nhóm này.

Bên cạnh các nhóm hữu hạn, rộng hơn là các nhóm rời rạc, ta còn có các nhóm liên tục.

Điển hình là nhóm các phép dời trong không gian. Hình học cổ điển có thể biên soạn lại dưới ngôn ngữ của nhóm các phép dời hình trong mặt phẳng hoặc trong không gian. Đó chính là quan điểm của hình học hiện đại. Lý thuyết phương trình đại số một ẩn số được Galois giải thích một cách thấu đáo bằng lý thuyết nhóm Galois. Một trong những cố gắng chính của lý thuyết số hiện đại là mở rộng lý thuyết Galois ra hệ phương trình đại số nhiều ẩn số. Langlands tiên đoán một sự liên quan mật thiết đến các dạng automorphic mà khởi thủy là một nhóm con rời rạc trong một nhóm liên tục. Trong vật lý lý thuyết, Gell-Mann tiên đoán sự tồn tại của một hạt cơ bản dựa vào danh sách các biểu diễn của nhóm Lie.

Khái niệm nhóm có vẻ như một cấu trúc đại số đơn giản thuận tiện, rất khó lý giải ảnh hưởng sâu rộng của nó đến hiểu biết chung của con người.

Minh – Nhân Châu nói đến vụ cái rubik thấy hấp dẫn quá, nên bàn thêm mấy câu thế này:

Tư duy là quá trình Lập Luận, Lập và Luận. Lập Luận xoay vòng nối tiếp nhau. Lập là lựa chọn, là quyết định, là hướng định. Lập khởi thủy là hệ thống các tiên đề, các ký hiệu, các qui tắc kết nối, các quy tắc thao tác, cùng một hệ thống ngữ nghĩa, làm nên một lý thuyết. Luận là quá trình thao tác kết nối, chuyển tải, sinh thành các Lập mới sao cho hợp thức (“không vi hiến”). Toàn bộ dòng này chảy dẫn từ Tiên đề đến Kết luận (Kết luận là một Lập đạt được cuối cùng của một chu trình). Dòng chảy này đa trị, nên có phép chứng minh hay thì có thể rất ngắn, hoặc phép chứng minh kém hay thì có thể siêu dài. Ví dụ về tập hợp các thao tác trên khối rubik của Châu rất hay cho trường hợp này: có người xoay rất nhanh ăn, người khác lâu ăn, riêng mình có thể xoay rubik cả đời không đi đến đâu cả, nhưng không hề phạm một lỗi logic nào! ;-).

Trong một lĩnh vực tri thức cụ thể, xuất phát từ Hệ tiên đề mà đạt đến Kết luận mang tính bất định (ví dụ lý thuyết «tính bắc cầu của lòng yêu mến » đưa đến các kết quả « lúc có, lúc nhất định không»), thậm chí mâu thuẫn, sẽ buộc ta phải xem xét lại, bổ sung hoặc thay đổi lý thuyết trong lĩnh vực tri thức đó. Logic chỉ đóng vai trò tư pháp, đảm nhiệm tính hợp pháp của quá trình Luận và của các Lập được sinh thành (ví dụ một công thức mới thu được như kết quả chứng minh hợp pháp thu được từ quá trình Luận). Còn tính chân lý nằm ở trong nội dung các Lập, được cắt nghĩa bởi bảng các giá trị chân lý có được do các kinh nghiệm, thực nghiệm, kiến thức khoa học đã xác tín (tương đối) và/hay các lựa chọn lý tưởng nhân văn xác quyết. Tính chân lý trong trường hợp khối rubik trên kia có thể được định nghĩa trong bảng giá trị như sau: « ở mọi trạng thái ban đầu, ta luôn luôn sẽ có cách đưa khối rubik về trạng thái mà mỗi mặt chỉ có một màu, bằng cách chỉ áp dụng các thao tác cho phép », như Châu đã nói ở trên.

Dương – Như vậy là ở đây có một số vấn đề cần làm rõ hơn:

1. Một lý thuyết mô tả những biến đổi nội tại trở nên rất mạnh khi mô tả thực tại (reality), nên thực tại phải có cấu trúc nội tại và sự biến đổi của thực tại là do những biến đổi nội tại gây ra?

2. Không thể có một kết cục tất yếu cho sự vận động của một thực tại, vì kết cục phụ thuộc vào cách thức và thứ tự của từng biến đổi riêng rẽ. Phán đoán ở mức tốt nhất chỉ là phán đoán thống kê, không thể là phán đoán tất định?

3. Cơ sở cho những tiên đoán như của Gell-Mann là gì? Có phải đó chỉ là sự tự hoàn thiện, đối xứng, tao nhã…, những tiêu chí của cái Đẹp. Như vậy cái Đẹp (Beauty) và cái Thật (Truth) có quan hệ gì? Một lý thuyết đẹp và mô tả xác thực thường được coi là tốt. Vậy Đẹp, Thật, Tốt (Chân-Thiện-Mỹ) có quan hệ gì với nhau? Hay ba cái này là một.Và như thế, có tồn tại một bộ quy luật chung cho Mỹ học và Đạo đức như cho Khoa học? Thực ra, đây là một câu hỏi rất cũ, nhưng đến giờ vẫn chưa có câu trả lời thỏa đáng.

Châu – Mình có một lý thuyết như thế này, có thể là hơi hàm hồ.

Có rất nhiều yếu tố khác nhau để tạo nên cái đẹp. Một yếu tố là tính vừa đủ: không thiếu, đặc biệt là không thừa.

Phải chăng thiên nhiên tuân theo nguyên tắc tiết kiệm, không chỉ tiết kiệm năng lượng, mà còn tiết kiệm cả thông tin nữa. Vì thế ngôn ngữ để mô tả nó cũng phải thỏa mãn tính tiết kiệm thông tin.

Cái đẹp có một lợi thế khác nữa trong quá trình phát triển của tri thức, cái đẹp dễ được tiếp thu hơn. Cái gì xấu xí, nhưng có giá trị, thường sẽ được con người gọt rũa cho đến khi nó trở thành đẹp. Cái gì giữ mãi cái vỏ xấu xí của mình sẽ có nhiều cơ hội để rơi vào lãng quên.

Dương – Lý thuyết của anh không “hàm hồ” chút nào, mà ngược lại, “cực kỳ tao nhã” (cười).

Chẳng phải Einstein từng nói: một lý thuyết cần “simple, but not simpler” thì cũng hàm ý không thiếu không thừa.

Nhân vật Hòa Thân trong phim Tể tướng Lưu gù một thời làm mưa làm gió trên phim truyền hình (Việt Nam, còn ở Trung Quốc thì không rõ) miêu tả một cô gái đẹp cho vua Càn Long như sau: cô ấy đẹp đến nỗi nếu bớt một chút thì thiếu, mà thêm một chút thì thừa. Càn Long (tay chơi có số) nghe đến đó thì cười tít mắt. Theo lý thuyết này, giám khảo của các cuộc thi sắc đẹp bây giờ, nếu thấy thí sinh có sẹo ở chân chẳng hạn, có lẽ nên nói cái sẹo ở đó là thừa thay vì thay vì chê bai thí sinh.

Như vậy xem ra nhận định của Đông Tây kim cổ đều có nét tương đồng.

Giờ nghiêm túc hơn một chút nhé:

Trong vật lý cổ điển, khi năng lượng có vai trò chủ đạo thì Nguyên tắc hoạt động tối thiểu (Principle of least action) có vai trò quan trọng tương ứng. Vậy nếu coi tự nhiên (universe), ở mức cơ bản nhất, được tạo bởi thông tin (hiện có rất nhiều nhà vật lý theo giả thiết này) thì Nguyên tắc tiết kiệm thông tin (Principle of least information – PLI) cũng sẽ có vai trò tương tự. Liệu có thể tìm cách kiểm chứng PLI ở những chỗ này chăng (với sự dè dặt rất lớn)? Trường hấp hẫn: theo cách giải thích thường thấy thì vật chất làm cong không gian, độ cong đó chính là hấp dẫn. Vậy có thể nhìn cách khác: không gian là lưới thông tin; độ cong của không gian chính là mật độ thông tin. Như vậy, ở mức cơ bản nhất, không gian, và rộng ra là cả vũ trụ, được cấu tạo bởi thông tin. Chỗ nào có mật độ thông tin lớn thì vật chất tụ lại tương ứng. Ánh sáng cũng như mọi vật chuyển động theo đường trắc địa không phải vì hấp dẫn mà đơn giản là dòng chảy tự nhiên của thông tin theo cách tương thích nhất với thông tin nền mà nó tiếp xúc (không gian). Sự lượng tử hóa không gian sẽ là một hệ quả tất yếu. Nhưng thời gian thì sao? Hoặc trong Vật lý lỗ đen, khi các bit thông tin phủ kín chân trời lỗ đen chứ không phải là toàn bộ thể tích lỗ đen thì đây có thể coi là hệ quả của nguyên tắc “không thiếu không thừa”? Vậy liệu có thể dùng PLI để đạt lại những kết quả như của họ? Tiếc là không có một nhà Vật lý lý thuyết ở đây để thảo luận vấn đề này.

Minh – Anh chen một tý vào chuyện cái đẹp thế này.

Cái đẹp có một khía cạnh đặc biệt, là nó liên quan đến cảm xúc của con người.

« Tri thức khách quan » không thể thống trị ở đây hoàn toàn được.

Cái đẹp của mối tình mới chớm đến, khác với cái đẹp của mối tình dứt áo ra đi.

Cái đẹp của quảng trường Times Square ở New York, cả quảng trường là một sân khấu vĩ đại tuyệt vời mà mỗi người có mặt tự mình thành một nhân vật sống, khác với cái đẹp của một bãi biển đìu hiu nắng chiều đỏ ối ở Deauville, Châu hát, Minh gảy đàn. Mà cũng lại khác nữa với một vẻ chiều cuối Xuân đường Nguyễn Du, Dương với Minh gặp nhau lần đầu trong đời thực bên tách café để rồi bắt đầu câu chuyện dài ở đây…

Ở đây không đơn thuần là « tiết kiệm năng lượng » nữa, mà là các thẩm mỹ biểu đạt các dòng chảy của năng lượng.

Châu – Có rất nhiều điều thú vị trong câu chuyện này. Nhưng có lẽ, mình đã đi quá xa so với chủ đề ban đầu.

Dương - Em cũng thấy vậy, nên sẽ tổng kết lại ở đây. Những phần mở rộng sẽ được thảo luận tiếp trong một dịp khác.

Thay lời kết

Sự thật Toán học, với những đặc tính như khách quan, bền vững, duy lý… có thể được coi là một trong những đặc sản của nền văn minh phương Tây. Sự phát triển của khoa học kĩ nghệ hiện đại trước hết khởi đầu bởi sự tìm ra những sự thật toán học này.

Chính là chúng – dù bản chất tồn tại vẫn còn là một vấn đề bỏ ngỏ – đã tạo ra cơ sở vững chắc cho kho tri thức của nhân loại. Không có chúng, khoa học và kĩ nghệ không thể ra đời, nền văn minh kĩ nghệ hiện đại không thể phát triển.

Cuộc thảo luận về sự thật toán học ở đây tuy chưa dài, nhưng đã gợi mở rất nhiều vấn đề của Triết học, Toán học và Vật lý… Hy vọng rằng, chúng sẽ được làm sáng tỏ phần nào trong những thảo luận tiếp theo.

Nguồn:http://thichhoctoan.net/2011/10/01/s%E1%BB%B1-th%E1%BA%ADt-toan-h%E1%BB%8Dc/